Tässä blogijutussa Nalle
Puhiin on liitetty kaksi matemaattista yhtälöä
Ilkka Virtanen
Matematiikka kielenä
Omana kouluaikanani, kun siirryttiin lukioon, oli ainakin
pienemmissä maalaiskouluissa yleensä valittavissa joko matematiikka- tai
kielipainotteinen suuntautuminen. Valinta merkitsi käytännössä myös
reaaliaineiden valitsemista valitun suunnan mukaisesti, luonnontieteisiin tai
humanistisiin aineisiin painottuen, koulun kulloisestakin tarjonnasta riippuen.
Historia, kirkkohistoria, biologia, psykologia kuuluivat lähes kaikkien
ohjelmaan.
Valinta pitkän matematiikan ja kielipainotteisuuden välillä
oli hyvin jyrkkä ja voimakkaasti sukupuoliriippuvainen. Toinen suuntaus
koettiin usein vaikeaksi tai jopa mahdottomaksi oppia.
Matematiikka sai osakseen jopa inhoa. Samaa ilmeni tuohon
aikaan vielä jossain määrin myös kielten suhteen.
Ja kuitenkin, matematiikkakin on yksi kieli, tosin
erityyppinen kuin puhutut kielet. Matematiikan kielellä voidaan kertoa asioista
lyhyen ytimekkäästi ja täsmällisesti, ”kielioppisäännöt” ovat tiukan täsmälliset.
Matematiikan hyvä hallinta edellyttää paitsi näiden sääntöjen tuntemusta niin
myös taitoa kääntää arkikieli matematiikan kielelle ja päinvastoin. Omalla
erikoisalallani talousmatematiikassa ja matemaattisessa mallinnuksessa tämä
tulkin rooli oli erityisen keskeinen.
Tehdään seuraavassa yksi tällainen tasoltaan yksinkertainen
harjoitus.
Tarkastellaan kuvaan liittyvää yhtälön muotoon kirjoitettua
lauseketta
jonka vasen puoli koostuu kahdesta osalausekkeesta ja oikea
puoli yhdestä. Osalausekkeet ovat kaikki matematiikan eri alueilta,
trigonometriasta, integraalilaskennasta ja lukujonoista.
Trigonometria kuuluu nykyisin peruskoulun matematiikan
oppimäärään, kaksi muuta ovat lukiotasoa. Kun lausekkeiden väliselle suhteelle
on merkitty yhtälö eli vasemman ja oikean puolen yhtäsuuruus, on syytä
tarkastella, onko yhtäsuuruus todella voimassa, sitä ei lausekkeesta ihan suoraan
voi päätellä. Ja jos yhtäsuuruus on totta, onko se sitä aina, (suorakulmaisen
kolmion toisen terävän kulman) arvosta riippumatta vai vain yhdellä tai muutamalla
arvoilla.
Lausekkeen
arvon määritys on
yksinkertainen. Suorakulmaisessa kolmiossa kateettien a ja b (suoran kulman viereiset
sivut) ja hypotenuusan c (suoran kulman vastainen sivu) välillä vallitsee
Pythagoraan teoreeman mukaan yhtälö a2 + b2 = c2.
Valitaan nyt kolmion mittayksiköt niin, että c = 1. Silloin a = sin
ja b = cos
Nähdään siis, että tarkasteltavan
sulkulausekkeen arvo = 1 kulman
arvosta riippumatta.
Vanhan ajan timpurit tunsivat hyvin Pythagoraan säännön. Kun heidän
piti tarkistaa esimerkiksi ovikarmin suorakulmaisuus silloisin vähin
työvälinein, käytännössä metrin pituisella kokoon taittuvalla puumitalla, he
mittasivat kulman muodostavilta pinnoilta kulmasta lukien 60 cm ja 80 cm
pituiset etäisyydet. Jotta pinnat olivat kohtisuorassa toisiaan vastaa,
mitattujen etäisyyksien päätepisteiden tuli olla 100 cm päässä toisistaan (602
+ 802 = 1002). Koko mitan hyödyntäminen antoi parhaan
mahdollisen tarkkuuden.
Määrätyn
integraalin
arvo
määritetään niin, että etsitään ensin integroitavan eksponenttifunktion e –x integraalifunktio, määritetään sen
arvot ylä- ja alarajoilla ja lasketaan näiden erotus. Saadaan laskelma
eli myös toisen lausekkeen arvo on = 1 ja vasemman puolen summa on
siten = 2.
Oikean puolen lauseke (alusta) auki kirjoitettuna on päättymättömän
lukujonon jäsenten summa
Laskemalla summan kehitys muutaman yhteenlaskettavan verran voi pian
päätellä, mikä tuoksi summaksi muodostuu (tai tarkasti ottaen mitä se rajatta
lähestyy), kun edetään pitkälle. Merkitään summa symbolilla Sn, kun
on edetty jäseneen n asti. Yleiseksi Sn:n lausekkeeksi voi helpohkosti
päätellä
Jälkimmäisen termin vaikutus summan arvoon vähenee
eksponentiaalisesti, joten summa lähenee nopeasti kohti arvoa 2. Sen
täsmällinen todistaminen, että tuo esitetty kaava on oikea, on matematiikan perustehtäviä.
Todistustapoja on useita. Yksinkertaisin tässä tapauksessa on ns. täydellinen
induktio (päättely tällöin osista kokonaisuuteen, deduktiivinen päättely tapahtuu
kokonaisuudesta osiin). Kaavan yhtälö on tosi, jos se täyttää seuraavat kaksi
ehtoa.
a)
Voidaan osoittaa
summan lauseke oikeaksi yhdellä n:n arvolla. Valitaan n = 0, jolloin
S0 = 2 – 1 = 1. Koska sarjassa
on tällöin vain yksi jäsen, joka on (½)0 = 1 eli kaava pätee, kun n
= 0.
b)
Oletetaan, että
summan lauseke on tosi, kun n = n. Osoitetaan, että tästä olettamuksesta seuraa
sen oleminen tosi myös tapauksessa n = n+1. Tällöin kaava on yleisesti tosi.
Sijoittamalla kaavaan n = n + 1 saadaan Sn+1 = 2 - (½)n+1.
Sn:n määritelmästä ja
olettamuksesta kaavan oikeellisuudesta kun n = n saadaan n:n arvolla n+1: Sn+1
= Sn + (½)n+1 = 2 – (½)n + (½)n+1 =
2 – (½)n(1 – ½) = 2 - (½)n ½ = = 2 - (½)n+1
eli kaava pätee myös, kun n = n+1. Induktioperiaatteen nojalla tulos on
osoitettu yleisesti oikeaksi.
Alkuperäisen yhtälön lausekkeet ratkaisemalla yhtälö on saatettu
varsin yksinkertaiseen muotoon 1 + 1 = 2. Onko Nalle Puh pettynyt tulokseen vai
väsähtänyt ratkontatehtävästä?
Aluksi
monimutkaiselta näyttänyt lauseke on saanut varsin yksinkertaisen muodon. Moni saattaa
nyt rientää sanomaan, että tätä se matematiikka juuri onkin, yksinkertaiset asiat
esitetään monimutkaisesti. Tilanne on kuitenkin juuri päinvastainen.
Reaalimaailman ongelmat ovat monimutkaisia. Toisinaan niitä voidaan ratkoa
matematiikan avulla. Tämä onnistuu, jos ongelma voidaan pelkistää riittävällä
vastaavaisuudella matemaattisen mallin muotoon. Tämä malli ratkaistaan
matematiikan työkaluilla ja saatu tulos tulkitaan ongelmaa koskevaksi.
Nalle Puhin ongelma
voisi olla esimerkiksi kuvaus jonkin tapahtuneen vahingon hallinnasta.
Vasemmalla puolella esitetään vahingon aiheuttamat kustannukset ja niiden
ajallinen eteneminen. Sulkulausekkeessa on esitetty vahingon aiheuttamien
vaurioiden kertaluoteiset korjauskustannukset (neliömuotoisuus viittaa pinta-alavaurioihin).
Eksponenttifunktio kuvaa ajan mukana vähenevän intensiteetin omaavan vahingon
(esim. vuodon) aiheuttamaa kustannuskehitystä, sen integraali (vastaa summausta)
tästä syntyvää kokonaiskustannusta. Oikean puolen summalauseke kuvaa vaurion
hoitoon tarvittavan rahavirran esimerkiksi päivittäistä kehitystä. Aluksi
panostus on suurta ja vuodon tullessa hallintaan panostukset nopeasti
vähenevät. Panosten kokonaissumma on vauriokustannusten suuruinen.
Ilkka Virtanen
...
”Suuntautumisalani matematiikassa oli opiskeluaikana
sovellettu matematiikka, työelämässä sen erityisala talousmatematiikka,
matematiikan soveltaminen taloustieteen ja talouselämän ongelmiin. Tarvittava
matemaattinen koneisto kuuluu lähinnä operaatioanalyysin (engl. Operations
Research & Management Science) alaan. Soveltaminen käsittää ongelmaa
käsittelevän matemaattisen mallin muodostamisen, sen ratkaisemisen matematiikan
työkaluin ja saadun tuloksen tulkitsemisen perusongelman näkökulmasta. Parhaaseen
tulokseen päästään ryhmässä, jossa on edustus sekä sovellusalalta että
matematiikasta ja vielä niin, että matemaatikoilla on riittävä ymmärrys
sovellusalalta ja substanssiasiantuntijat pystyvät ymmärtämään käytetyn
koneiston mahdollisuudet ja rajoitukset.
Törmäsin netissä kuvapariin, jossa Nalle Puhiin oli
liitetty kaksi matemaattista yhtälöä, toinen hyvin triviaali, toinen aika
monimutkaisen näköinen. Yllättäen molemmat kertovat saman yksinkertaisen
tosiasian. Monimutkainen voisi olla jostakin todellisesta ongelmasta peräisin,
jonka käsittely matematiikan keinoin tuo sille selkeän ratkaisun.”
Ilkka
...
Tekstin kirjoittaja Ilkka Virtanen väitteli filosofian
tohtoriksi Turun yliopistosta vuonna 1977 ja työskenteli Vaasan yliopistossa
talousmatematiikan vt. apulaisprofessorina 1981–1983 ja professorina vuodesta
1983. Lisäksi hän toimi yliopiston rehtorina 1987–1994 ja dekaanina 1998–2007. Virtasen
tutkimusaloja ovat olleet operaatiotutkimus, matematiikan ja tilastotieteen
taloustieteelliset sovellukset, tulevaisuudentutkimus, luotettavuusteoria ja
jakaumateoria. Hän on julkaissut yli 100 tieteellistä tutkimusta (Lähde:
Wikipedia)
Lue myös Ilkan aikaisemmat tässä blogissa julkaistut matematiikka aiheiset
kirjoitukset:
Arjen aritmetiikkaa
https://vaasaennenjanyt.blogspot.com/2024/08/ilkka-virtanen-arjen-aritmetiikkaa.html
Kultainen leikkaus matematiikan ja kuvataiteen työkaluina
https://vaasaennenjanyt.blogspot.com/2024/08/kultainen-leikkaus-matematiikan-ja.html
Tämä blogi on sitoutumaton ja vapaa julkaisualusta myös
Sinun kirjoituksillesi ja kuvillesi!
Sivuston yllätito:
aimonyberg(at)gmail.com
