Ilkka Virtanen
Vanhan kaupunkilegendan mukaan
kansanedustaja Veikko Vennamo olisi esittänyt otsikossa esiintyvän vaatimuksen
eduskunnan puhuja-aitiossa budjettikeskusteluun liittyvän puheenvuoronsa
yhteydessä. Onpa tämä totta (tuskin) tai ei, molemmat vaatimukset ovat mahdottomia
toteuttaa. Verojen maksun siirtäminen valtiolle merkitsisi välitöntä kaaosta
valtiontaloudessa ja matematiikan ehkä tunnetuimman symbolin arvon muuttaminen
veisi pohjan geometrian ja aritmetiikan oppirakennelmilta, niihin perustuvilta
matematiikan muilta alueilta ja lukemattomilta käytännön, erityisesti
teknillisiltä, sovelluksilta. Mikä tämä vakioarvoinen symboli – suoranainen
matemaattinen ikoni – sitten on? Milloin se on syntynyt tai löydetty, mihin se
matematiikassa erityisesti liittyy ja miten sen numeerinen arvo on määritetty?
Muun muassa näitä kysymyksiä tarkastelen seuraavassa.
Yksiselitteinen ja muuttumaton
irrationaaliluku
Käytännössä jokainen koulusivistystä
saava henkilö kohtaa piin, jonka symbolina on kreikkalainen kirjain π (pii).
Suomessa kohtaaminen tapahtuu viimeistään peruskoulun yläasteella. Aikuisina
kaikki vielä muistanevat, että pii liittyy jotenkin ympyröihin, useat senkin,
että se ilmaisee ympyrän kehän ja halkaisijan välisen suhteen, ehkä vielä
lukuarvonkin, joka on likimäärin 3,14.
Pii on matemaattinen vakio, luku,
jonka arvo on kiinteä ja yksiselitteinen. Sen numeroarvoa ei voida kuitenkaan
tarkasti ilmoittaa, koska π on irrationaaliluku. Matemaattiset luvut ovat
kokonaislukuja, rationaalilukuja tai irrationaalilukuja. Kokonaisluvut ovat
”luonnollisia” lukuja 0, 1, 2, 3 jne. Rationaaliluvut ovat lukuja, jotka
voidaan esittää kahden kokonaisluvun suhteena, kuten esimerkiksi ½.
Rationaaliluvusta voi käyttää myös desimaaliesitystä: ½ = 0,5. Tässä
tapauksessa desimaaliluku on päättyvä, tarkka lukuarvo. Rationaaliluvun desimaaliesitys
voi olla myös päättymätön, jonka tarkkuus kasvaa desimaalien lukumäärän
kasvaessa, esimerkiksi 1/3 = 0,33333…. jne. Irrationaaliluvun ainoa muoto on päättymätön
desimaaliluku, jota ei voi esittää kokonaislukujen suhteena. Pii on tällainen
luku.
Vuosituhansia vanha historia
Piin historia on yhtä vanha
kuin matematiikan historia. Piin ominaisuuksien lisätuntemus on usein merkinnyt
samalla matematiikan kehittymistä. Melkein kaikki historian tärkeimmistä
matemaatikoista ovat osaltaan lisänneet tietämystä piistä. Vaikka piin
numeerinen arvo tunnetaan nykyään jo äärimmäisellä tarkkuudella (tunnetaan yli
300 biljoonaa piin ensimmäistä desimaalia), desimaaleja etsitään edelleen
lisää. Kiinnostuksen kohde ei olekaan lisädesimaaleissa (paitsi tieteellisessä ”urheiluhengessä”),
vaan laskennassa tarvittavien algoritmien kehittämisessä ja
tietokonekokonaisuuksien testaamisessa, laskennat vaativat tietokoneiden
jättikoalitioilta kuukausien mittaisen laskentatyön ja valtavat tallennetilat.
Piin universaalisuudesta kertoo jotakin
se, että tämän ikonisen luvun olemassaolo tunnettiin jo Raamatun vanhassa
testamentissa (ei vielä piin nimellä, nimi otettiin käyttöön vasta
1700-luvulla). Ensimmäisessä kuninkaiden kirjassa vakion lukuarvona on 3:
”Hiram valoi myös pyöreän altaan, jota kutsuttiin mereksi. Se oli reunasta
reunaan kymmenen kyynärän levyinen, korkeutta sillä oli viisi kyynärää, ja
vasta kolmenkymmenen kyynärän pituinen mittanuora ulottui sen ympäri”.
Noin 2 000 vuotta ennen ajanlaskun
alkua babylonialaiset otaksuivat, että π on joko 3 tai 25/8 (= 3,1250… eli yksi
desimaali oikein). Myös likiarvo 22/7 (= 3,1429… eli kaksi desimaalia oikein) oli
tiedossa varhain.
Egyptiläinen Ahmose on matematiikan historiassa
ensimmäinen nimeltä tunnettu matemaatikko. Hän esitti noin 1550 eaa.
geometriaan perustuvan tavan π:n arvon määrittämiseksi. Hän osoitti, että
ympyrän pinta-ala on likimain yhtä suuri kuin neliön, jonka sivu on 8/9 ympyrän
halkaisijasta. Tämä vastaa π:n likiarvoa 256/81 eli noin 3,16. Ahmose otti
käyttöön neliön, joka koostui 9x9 = 81 ruudusta. Neliön sisälle hän piirsi
ympyrän (halkaisija 9 ruutua). Neliön sisälle tuli ympyrää ulkoa
sivuava 8-kulmio, jonka pinta-alaksi
laskettiin neliön ala vähennettynä neljän kulmakolmion aloilla. Tulokseksi
saatiin 81 – 17 = 64 = 8x8 ruutua. Ahmosella oli ilmeisesti tieto tai arvio
ympyrän pinta-alan määräytymiskaavasta (A = π r2, r on säde) vaikka
Eukleides sen teoksessa Alkeet vasta n. 300 eaa. sitovasti osoitti. Näin saatiin
π:lle arvo
π (9/2)2
= 64, eli π = 256/81 = 3,16.
Antiikin kreikkalaiset piirsivät
ympyrän sisälle säännöllisen kuusikulmion ja ympyrän ulkopuolelle neliön. Jos
merkitään ympyrän halkaisijaa 1:llä, niin neliön piiri on 4. Kuusikulmion tahot
ovat ympyrän säteen suuruiset, joten sen piirin pituus on 3. Koska ympyrän kehä
on pii kertaa ympyrän halkaisija, niin kreikkalaiset päättelivät, että pii on
suurempi kuin 3 ja pienempi kuin 4. Tällä menetelmällä tarkkuus paranee, jos
käytetään useampitahoisia monikulmioita. Ennen Eukleidesta ja Arkhimedesta ei
kuitenkaan osattu laskea useampitahoisten monikulmioiden piirin pituutta, siihen
tarvittiin trigonometriset funktiot sini ja kosini. Arkhimedes päätyi n. 200
eaa. 96-tahoisen monikulmion avulla tulokseen, että ympyrän kehän ja
halkaisijan suhde on lukujen 3 10/71
(3,1408) ja 3 1/7 (3,1429) välillä. Ptolemaios päätyi
laskelmissaan n. 150 jaa. π:n arvoon 3 17/120 (3,1417 kolme desimaalia oikein).
Geometrian avulla π:n arvoa ei voi
enää merkittävästi tarkentaa, on siirryttävä laskennallisiin aritmeettisiin
menetelmiin. Pii voidaan esittää päätymättömänä suppenevana sarjana
(rationaaliarvoisen lukujonon summana), jossa summan arvo tarkentuu sarjan
yhteenlaskettavien lisääntyessä. Leibniz esitti n. 1700 ns. Gregory-Leibniz
sarjan π:n arvon laskemiseksi:
π = 4(1 –
1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + …).
Sarjalla on kuitenkin vain
historiallinen pioneeriarvo, sillä se suppenee liian hitaasti, jotta sitä
kannattaisi käyttää π:n arvojen laskemiseen. Vasta kun sarjasta otetaan 294
ensimmäistä termiä, saadaan yleisesti käytetty likiarvo 3,14.
Pian Leibnizin jälkeen John Machin
kehitti v. 1706 piille nopeasti suppenevan ja käyttökelpoisen sarjakehitelmän:
Machin itse laski tällä kaavalla π:n
100 desimaalin tarkkuudella. Sarjaa on sittemmin käytetty paljon yhä tarkempien
likiarvojen laskemiseen.
Machin pääsi laskuissaan π:n sadanteen
desimaaliin. Tuhannes desimaali saavutettiin 1949 ja miljoonas 1980-luvulla.
Ennen vuosituhannen vaihtumista π:stä tunnettiin jo yli miljardi desimaalia.
Tänä vuonna on tavoitettu 300 biljoonan taso (π:n 300:s biljoonas desimaali on
5). Laskenta vaati tietokonejärjestelmältä 7,5 kk:n yhtäjaksoisen laskennan ja
tallennuskapasiteettia 2,2 petatavua (petatavu on 1000 teratavua eli 1000
biljoonaa tavua).
π:n ominaisuuksia
Koostuuko π:n desimaalien muodostama
lukujono satunnaisluvuista? Kyllä ja ei. Lukujono ei ole aidosti satunnainen,
koska se on yksiselitteinen vakio. Jokainen π:n määritelmään perustuva
algoritmi tuottaa aina saman lukujoukon. Desimaalien joukolla on kuitenkin
satunnaislukujen ominaisuudet, sillä desimaaleissa ei ole toistuvia rakenteita,
muita säännönmukaisuuksia tai ennustettavuutta. Jos desimaaleista valitaan yksi
satunnaisesti ja edetään siitä haluttu määrä eteenpäin, niin saatu joukko
täyttää satunnaisluvuilta vaaditut ominaisuudet.
Yksi satunnaislukujen ominaisuus on,
että suuressa lukujoukossa numeroita 0 – 9 on suunnilleen yhtä paljon, 10 %.
Kuvassa on graafisesti esitetty eri numeroiden esiintymisten prosenttiosuudet
π:n desimaalien lukumäärän kasvaessa välillä 1 – 1000. Prosenttiosuudet
lähenevät toisiaan. Pientä ”harhailuakin” esiintyy. Numero 7 on aluksi selvästi
aliedustettu, mutta palaa ruotuun. Numerolla 1 on desimaalimäärän 1000
tuntumassa pientä irtiottoa ylöspäin. Kaikki tällaiset anomaliat ovat aidoille
satunnaisluvuille tyypillisiä.
Piin merkityksestä matematiikassa saa
hyvän käsityksen, kun tarkastelee sitä, miten paljon desimaaleihin liittyvää
tutkimusta ja laskentaa jatkuvasti harrastetaan, vaikka riittävä tarkkuus π:n
arvolle on saavutettu jo kauan sitten. Kyseessä on sekä tavoitteellista
harrastusta ja uteliaisuutta että vakavaa laskentajärjestelmien ja algoritmien
kehitystyötä.
Klassinen esimerkki harrastuksesta tulee
jo 1800-luvulta. Englantilainen amatöörimatemaatikko William Shanks laski 20 vuoden ajan piin desimaaleja
käsin ja sai ratkaistua niitä 707. Vuonna 1945 kuitenkin huomattiin, että laskelman
528. desimaali oli virheellinen ja sen seurauksena kaikki myöhemmät. Shanks
itse ei ollut tätä nöyryytystä kokemassa.
Erilaisten erikoisjaksojen etsiminen desimaalijonosta
on jatkuvasti suosiossa. Tietyn numeron esiintyminen useamman kerran peräkkäin
(”kaksoset”, ”kolmoset” jne.) on yksi runsaasti tutkittu alue. Taulukossa on
esitetty π:n 800 ensimmäistä desimaalia ja poimittu siitä esiin tällaiset
jaksot. Kaksosia on varsin runsaasti, 63 kpl, lähes yksi 10 desimaalia kohti.
Mitään säännöllisyyttä ei ole havaittavissa. Kolmosia on vain kolme, ensimmäisen
(111) alkaessa desimaalista 153. Nelosia ja viitosia ei tällä alueella esiinny,
mutta sen sijaan yhdeksäisten kuutonen alkaa desimaalista 762.
Tätä kuuden yhdeksikön sarjaa
kutsutaan Feynmanin pisteeksi Nobel-palkitun fyysikko Richard Feynmanin mukaan.
Kehittyneiden laskentajärjestelmien ansiosta nykyisin tunnetaan jo sarjoja,
joissa on yli 10 samaa numeroa peräkkäin. Mielenkiintoinen triviatieto on myös,
että 17 387 594 880:nnen desimaalin kohdalta alkaa numerosarja 0123456789.
Epäilemättä tämä numerosarja esiintyy jossakin myöhemmin numeroiden alenevassa
järjestyksessä.
Pii on inspiroinut myös hupijuttuja.
Almanakkaan on sovitettu pii-päivää. Se on maaliskuun 14. päivä eli
amerikkalaisittain merkittynä 3/14. Sattumalta päivä on myös Albert Einsteinin
syntymäpäivä (14.3.1879). Einstein ei tiettävästi osallistunut π:n arvon tai
ominaisuuksien tutkisteluun, vaikka vakiolla oli toki merkitystä hänen
tutkimuksissaan. Hänelle tärkeä oli toinen ikoninen vakio, valon nopeus c,
jolle hänen suhteellisuusteoriansa perustui.
Pizzan ystäville on kehitetty oma
π-pizza. Siinä muoto on erityisen tärkeä. Jos pizzan pyöreän pohjan halkaisija
on 2z ja paksuus a, on pizzan koko (tilavuus) V = π·z2·a eli
Pi·z·z·a.
Erityisesti fysiikassa suureiden, myös
vakioiden, arvoja voidaan mitata kokeellisesti. Seuraavassa esitetään
yksinkertainen koejärjestely, eräänlainen peli, π:n karkean likiarvon
määrittämiseksi. Otetaan käyttöön neljästä ruutuneliöstä muodostuva ruudukko.
Ruutujen sivujen pituudet ovat 2r ja ruudukon sivut siten 4r. Otetaan lisäksi käyttöön
kolikko tai muu pyöreä laatta, jonka säde on r. Kun kolikko heitetään
satunnaisesti neliöruudukolle, niin todennäköisyys, että kolikko peittää
neliöiden risteyskohdan kuvassa
esitetyllä tavalla, on π/4. Toistamalla koe lukuisia kertoja saadaan piille
kokeellinen likiarvo. Kokeellisesti saatu todennäköisyys (P) kuvatulle
tapahtumalle on niiden heittojen lukumäärän, joissa ruudukon keskipiste
peittyy, suhde heittojen kokonaislukumäärään. Tästä saadaan π:lle likiarvo
yhtälöistä P = π/4, mistä π = 4·P. Oletetaan esimerkiksi, että kolikkoa on
heitetty 1000 kertaa ja 783:ssa tapauksessa keskipiste on peittynyt. Tästä
saadaan π:lle likiarvo π = 4·(783/1000) = 3,132. Tulokseen liittyy suuri
epävarmuus, toistettaessa koe voidaan saada hyvinkin erilainen tulos. Tulos on
kuitenkin sitä luotettavampi, mitä pitempi koesarja on.
Laskuharjoitus (peruskoulun yläasteen
matematiikkaa): Osoita, että todennäköisyys keskipisteen peittymiselle kolikkoa
heitettäessä on π/4, ts. että kolikon aseman muodostaman alan, jolla piste
peittyy, suhde kolikon aseman muodostamaan koko alaan on tuo π/4.
Kymmenille sukupolville kahta
viimeistä lukuun ottamatta matematiikka olisi ollut helpompaa, jos π:llä olisi ollut kaupunkilegendassa vaadittu
arvo 3. Laskimien ja tietokoneiden puuttuessa numeerisissa trigonometrisissa
laskuissa piti turvautua laskutikkuun ja logaritmitauluun. Hankalaa ja monille
vaikeaoppista. Nykyisin eroa eri lukumuotojen välillä ei huomaa. Toisaalta π:n
irrationaaliluonne on vaatinut matematiikan ammattilaisilta menetelmien
kehittämistä, jotta π:lle on saatu riittävän tarkka arvo. Tämä vaatimus on jo
aikoja sitten saavutettu. On esimerkiksi sanottu, että Uranus-planeetan
ympärysmitan määrittämiseenkin riitti π:n viisitoista desimaalia. Mutta
kiinnostus π:n desimaaleihin jatkuu, jopa kasvaa. Nyt vuorossa ovat
jättimäisten tietokoneiden ja tallennusmahdollisuuksien sekä
laskenta-algoritmien kehittäminen. Pii elää ajassa ja säilyttää asemansa yhtenä
matematiikan ikonina.
Ilkka Virtanen
P.S. Laskuharjoitustehtävän ratkaisu. Kolikon asemaan perustuva todennäköisyys on yksinkertaisinta ratkaista tarkastelemalla kolikon keskipisteen sijaintia. Tätä varten tarvitaan kaksi apupiirrosta. Tehtäväkuvaan (vasemmalla) on vihreällä merkitty neliö, joka rajaa alueen, mihin kolikon keskipiste voi ruudukossa kaiken kaikkiaan sijoittua. Neliön sivujen pituus on 2r ja ala siten 4r2. Punainen ympyrä rajaa kolikon keskipisteelle ympyrän, jonka sisälle sijoittuminen merkitsee ruudukon keskipisteen peittymistä. Ympyrän (säde r) ala on πr2. Keskipisteen peittymistodennäköisyys P saadaan peittymisen määrittävän ympyrän ja koko sijoittumisalueen määrittävän neliön alojen suhteena
P = πr2/(2r)2 = π/4, mistä π:n määrittämiseksi π = 4P.
Koejärjestelyllä ei nykyoloissa ole tietenkään merkitystä piin arvon määrittelyssä. Se onkin lähinnä esimerkki geometrisistä menetelmistä ongelmien ratkaisussa. Antiikin matemaatikkojen tapaan tarvittiin apupiirrokset, joiden avulla ja aiemmin tunnettuja tosiasioita hyödyntäen ratkaisu löydettiin.
Koejärjestelyä voi kuitenkin ajatella sovellettavan pelinä tai tarkkuustehtävänä. Tivolissa voisi olla neliön muotoinen alusta, johon heitetään pyöreää laattaa, jonka halkaisija on puolet alustan sivun pituudesta. Heittäjä saa palkinnon, jos alustan keskipiste jää näkyviin. Tiedämme nyt, että tämän todennäköisyys on 1 - π/4 = (4 – π)/4 π ≈ 0,215. Keskipiste jää siis näkyviin keskimäärin hieman useammin kuin joka viides kerta. Tivolinpitäjän ongelmaksi jää, että palkinto ei voi olla kovin houkutteleva, enintään 4,5-kertainen, jotta palkintojen arvo ei ylittäisi osallistumismaksujen kertymää.
Parempi toteuttamismahdollisuus saadaan, jos muokataan pelin toteutusta. Käytetään 2x2-ruudukon sijasta 4x4-ruudukkoa (oikeanpuoleinen kuva), alustan ruutujen ja laatan koot kuten edellä. Punainen ympyrä rajaa nytkin laatan (musta ympyrä) keskipisteelle ruudukon keskipisteen peittymisalueen ja vihreä neliö koko mahdollisen sijoittumisalueen. Todennäköisyys keskipisteen peittymiselle on
P = πr2/(6r)2 = π/36 ≈ 0,087.
Nyt keskipisteen peittyminen on harvinainen suhteessa näkyviin jäämiseen, esiintyy harvemmin kuin joka 11:s kerta. Palkinnon saa keskipisteen peittyessä ja palkinnon suuruus voi olla vaikka 10-kertainen panokseen verrattuna. Muuttamalla ruudukon tai laatan kokoa voittosuhdetta voi säädellä halutulla tavalla.
